非平稳时间序列分析（二）——ARIMA(p,d,q)模型

此前篇章（平稳序列）：

时间序列分析（一）——基础概念篇

时间序列分析（二）——平稳性检验

时间序列分析（三）——白噪声检验

时间序列分析（四）——差分运算、延迟算子、AR(p)模型

时间序列分析（五）——移动平均模型（MA模型）

时间序列分析（六）——自回归移动平均模型（ARMA模型）

时间序列分析（七）——平稳序列建模

此前篇章（非平稳序列）：

非平稳时间序列分析（一）——时间序列的分解（wold、cramer）、差分运算

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一、ARIMA(p,d,q)模型的结构

通过差分运算，可以提取序列的确定性信息，经过差分的后的非平稳序列会显示出平稳序列的特征，称这一非平稳的序列为差分平稳序列，可以对其使用ARIMA模型进行拟合。

ARIMA模型的结构：

ARIMA模型，全称为自回归积分滑动平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average），是一种广泛应用于时间序列分析中的统计模型。它通过结合自回归（AR）、差分（I）和滑动平均（MA）三种成分，来捕捉时间序列数据的复杂结构。

ARIMA模型主要由以下三部分组成：

自回归（AR）部分：利用过去的值来预测当前的值。

差分（I）部分：通过差分使时间序列平稳。

滑动平均（MA）部分：利用过去的误差项来预测当前的值。

ARIMA模型的数学表达式（基于滞后算子）：

其中：

Φ(B)=是 p 阶自回归多项式

 是 d 次差分算子，n阶差分表达式为：

Θ(B)=是 q 阶滑动平均多项式

εt​ 是白噪声序列

B 是滞后算子

特别地，当差分阶数 d=0，ARMA(p, d, q)模型实际上就是ARMA(p,q)模型。

ARIMA模型的另一种数学表达

ARIMA模型的另一种数学表达式：

其中，Yt 为经过差分运算后的序列。

因此，从表达式可以看出，ARIMA模型的实质就是差分运算与RIMA模型的组合。这表明任何非平稳的序列，若差分后能平稳，就可以对差分后的序列进行ARMA模型拟合，而ARMA模型的分析方法又十分成熟，故对差分平稳序列的分析也是非常简单和可靠的。

二、ARIMA模型的性质 1、平稳性

定义广义自回归系数多项式为 ，ARIMA模型的平稳性完全由的特征根的性质决定，广义自回归系数多项式共有 p+d 个根，其中 p 个根在单位圆外，d 个根在单位圆上（相应的，由于自回归系数多项式的根为特征根的倒数，则有 p 个根在单位圆内，d 个根在单位圆上）。

综上，有 d 个特征根在单位圆上，而非单位圆内，故当 d ≠ 0 时，ARMA（p,d,q）模型不平稳。

2、方差齐性

对于ARIMA模型，当 d ≠ 0 时，不仅均值非齐性，而且序列方差也非齐性。

简单来说就是要求满足ARIMA模型的两个假设：

平稳性假设：差分后的序列要求是平稳的。方差齐性假设：差分后的序列的方差不随时间变化而变化，应为一个常数。 三、ARIMA模型的建模

建模流程：

注：此图源自于王燕——《应用时间序列分析（第四版）》

对于非平稳的序列的建模过程：

平稳性检验（不通过）→ 差分 →平稳性检验（若通过） → 白噪声检验 → 拟合ARMA模型（包括定阶、参数估计、预测等操作，前面文章有讲，这里就不讲了）

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