【几何】平面方程
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- 2025-07-22 14:21:01
文章目录 平面方程一般式截距式点法式法线式 平面方程
平面方程是用一个方程来表示平面，平面上的所有点代入方程，方程都成立。因为用法的不同，平面方程一般有四种表现形式。
一般式设 n ⃗ = ( A , B , C ) \vec n=(A,B,C) n =(A,B,C) 为平面的法线， p 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) p_0(x_0, y_0, z_0) p0(x0,y0,z0) 、 p ( x , y , z ) p(x, y, z) p(x,y,z) 为平面上两点。我们知道两个垂直向量的点乘为0，则平面的法线和平面上两点组成向量的点乘也为0，则 n ⃗ ∗ p 0 p → = 0 \vec n * \overrightarrow {p_0p} = 0 n ∗p0p =0 , 可以得出 n ⃗ ∗ ( p − p 0 ) = 0 n ⃗ ∗ p − n ⃗ ∗ p 0 = 0 由于 n ⃗ 和 p 0 已知，设常数 D = − n ⃗ ∗ p 0 , 则 n ⃗ ∗ p + D = 0 A ∗ x + B ∗ y + C ∗ z + D = 0 \vec n * (p - p_0) = 0 \\ \vec n * p - \vec n * p_0 = 0 \\ 由于\vec n和p_0已知，设常数D = -\vec n * p_0,则 \\ \vec n * p + D = 0 \\ A*x+B*y+C*z+D=0 n ∗(p−p0)=0n ∗p−n ∗p0=0由于n 和p0已知，设常数D=−n ∗p0,则n ∗p+D=0A∗x+B∗y+C∗z+D=0 平面的一般式为 A ∗ x + B ∗ y + C ∗ z + D = 0 A*x+B*y+C*z+D=0 A∗x+B∗y+C∗z+D=0，其中 ( A , B , C ) (A, B, C) (A,B,C)为平面的法线， − D -D −D为原点 o ( 0 , 0 , 0 ) o(0,0,0) o(0,0,0)到平面的垂直距离， n ⃗ ∗ p 0 = n ⃗ ∗ o p 0 → \vec n * p_0 = \vec n * \overrightarrow {op_0} n ∗p0=n ∗op0 ，为 o p 0 → \overrightarrow {op_0} op0 在 n ⃗ \vec n n 方向上的投影距离。
截距式现在已知平面的一般式为 A ∗ x + B ∗ y + C ∗ z + D = 0 A*x+B*y+C*z+D=0 A∗x+B∗y+C∗z+D=0，
设 a = − D / A , b = − D / B , c = − D / C a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C a=−D/A,b=−D/B,c=−D/C, 则 A = − D / a , B = − D / b , c = − D / C A=-D/a,B=-D/b,c=-D/C A=−D/a,B=−D/b,c=−D/C, 原式可改为 − D a ∗ x − D b ∗ y − D c ∗ z + D = 0 − D ∗ ( 1 a ∗ x + 1 b ∗ y + 1 c ∗ z ) + D = 0 1 a ∗ x + 1 b ∗ y + 1 c ∗ z = 1 -\frac{D}{a}*x-\frac{D}{b}*y-\frac{D}{c}*z+D=0 \\ -D*(\frac{1}{a}*x+\frac{1}{b}*y+\frac{1}{c}*z)+D=0 \\ \frac{1}{a}*x+\frac{1}{b}*y+\frac{1}{c}*z=1 \\ −aD∗x−bD∗y−cD∗z+D=0−D∗(a1∗x+b1∗y+c1∗z)+D=0a1∗x+b1∗y+c1∗z=1 平面的截距式为 1 a ∗ x + 1 b ∗ y + 1 c ∗ z = 1 \frac{1}{a}*x+\frac{1}{b}*y+\frac{1}{c}*z=1 a1∗x+b1∗y+c1∗z=1，其中 a , b , c a,b,c a,b,c分别为平面与xyz轴的交点。
点法式已知平面的法线 n ⃗ \vec n n 和平面上的两点 p 、 p 0 p、p_0 p、p0 ,求平面的方程。和上面一般式的求取过程是一样的，只不过得到的最后的表达方式不同。 n ⃗ ∗ ( p − p 0 ) = 0 A ∗ ( x − x 0 ) + B ∗ ( y − y 0 ) + C ∗ ( c − c 0 ) = 0 \vec n * (p - p_0) = 0 \\ A*(x-x_0)+B*(y-y_0)+C*(c-c_0)=0 n ∗(p−p0)=0A∗(x−x0)+B∗(y−y0)+C∗(c−c0)=0 平面的点法式为 A ∗ ( x − x 0 ) + B ∗ ( y − y 0 ) + C ∗ ( c − c 0 ) = 0 A*(x-x_0)+B*(y-y_0)+C*(c-c_0)=0 A∗(x−x0)+B∗(y−y0)+C∗(c−c0)=0，其中 ( A , B , C ) (A, B, C) (A,B,C)为平面的法线， ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0) 为平面上的一点。
法线式已知平面的法线和原点到平面的距离，求平面的方程。法线式和一般式几乎是一样的。
n ⃗ = ( A , B , C ) \vec n=(A,B,C) n =(A,B,C) ，那么 n ⃗ \vec n n 与xyz三个坐标轴的余弦值是多少呢？
设 n ⃗ \vec n n 与xyz的夹角分别为 α , β , γ \alpha,\beta,\gamma α,β,γ ，则 cos α = ( A , B , C ) ∗ ( 1 , 0 , 0 ) = A cos β = ( A , B , C ) ∗ ( 0 , 1 , 0 ) = B cos γ = ( A , B , C ) ∗ ( 0 , 0 , 1 ) = C 则 cos α ∗ x + cos β ∗ y + cos γ ∗ z + D = 0 设 p = − D , 得 cos α ∗ x + cos β ∗ y + cos γ ∗ z = p \cos \alpha=(A,B,C)*(1,0,0)=A \\ \cos \beta=(A,B,C)*(0,1,0)=B \\ \cos \gamma=(A,B,C)*(0,0,1)=C \\ 则\cos \alpha*x+\cos \beta*y+\cos \gamma*z+D=0 \\ 设p=-D,得 \cos \alpha*x+\cos \beta*y+\cos \gamma*z=p cosα=(A,B,C)∗(1,0,0)=Acosβ=(A,B,C)∗(0,1,0)=Bcosγ=(A,B,C)∗(0,0,1)=C则cosα∗x+cosβ∗y+cosγ∗z+D=0设p=−D,得cosα∗x+cosβ∗y+cosγ∗z=p 平面的法线式为 cos α ∗ x + cos β ∗ y + cos γ ∗ z = p \cos \alpha*x+\cos \beta*y+\cos \gamma*z=p cosα∗x+cosβ∗y+cosγ∗z=p ，其中 ( cos α , cos β , cos γ ) (\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma) (cosα,cosβ,cosγ) 为平面的法线， p p p 为原点离平面的垂直距离。
