代数结构—笔记

线性空间

如果满足以下性质，则域 K K K上定义了二元运算（加法）与二元函数（数乘）的非空集合 X X X称为线性空间。 1、加法封闭性：对任意 u , v ∈ X u, v \in X u,v∈X，存在 u + v ∈ X u+v\in X u+v∈X 2、数乘封闭性：对任意 u ∈ X , α ∈ K u \in X, \alpha \in K u∈X,α∈K，存在 α u ∈ X \alpha u \in X αu∈X 3、加法交换性： u + v = v + u u+v=v+u u+v=v+u 4、加法结合性： ( u + v ) + w = u + ( v + w ) (u+v)+w=u+(v+w) (u+v)+w=u+(v+w) 5、加法单位元：存在 0 ∈ X 0 \in X 0∈X，使得 z + 0 = z z+0=z z+0=z 6、加法逆元：存在 − z ∈ X -z \in X −z∈X，使得 z + ( − z ) = 0 z+(-z)=0 z+(−z)=0 7、数乘分配性： α ( u + v ) = α u + α v , ( α + β ) u = α u + β u \alpha(u+v) = \alpha u + \alpha v, (\alpha+\beta)u=\alpha u + \beta u α(u+v)=αu+αv,(α+β)u=αu+βu 8、数乘结合性： ( α β ) u = α ( β u ) (\alpha \beta) u = \alpha (\beta u) (αβ)u=α(βu) 9、数乘单位元： 1 u = u 1u=u 1u=u 其中， u , v , w ∈ X , α , β ∈ K u,v, w\in X, \alpha, \beta \in K u,v,w∈X,α,β∈K

群

如果满足以下性质，则定义了二元运算   ⋅   \space \cdot \space  ⋅ 的非空集合 G G G称为群。 1、封闭性：对任意 g , h ∈ G g, h \in G g,h∈G，存在 g ⋅ h ∈ G g \cdot h \in G g⋅h∈G 2、结合性： ( g ⋅ h ) ⋅ l = g ⋅ ( h ⋅ l ) (g\cdot h) \cdot l = g \cdot (h \cdot l) (g⋅h)⋅l=g⋅(h⋅l) 3、单位元：存在 e ∈ G e \in G e∈G，使得 e ⋅ g = g ⋅ e = g e \cdot g = g \cdot e = g e⋅g=g⋅e=g 4、逆元：存在 g ˉ ∈ G \bar{g} \in G gˉ​∈G，使得 g ˉ g = g g ˉ = e \bar{g} g = g\bar{g} = e gˉ​g=ggˉ​=e 其中， g , h , l ∈ G g,h,l \in G g,h,l∈G

实数乘法群：非零实数组成的集合，运算为乘法，单位元为 1 1 1。 矩阵群：行列式不为零的实矩阵组成的集合，运算为矩阵乘法，单位元为单位矩阵 E E E。

交换群或阿贝尔群：满足交换性的群。 矩阵一般不满足交换性，因此维数 n ≥ 2 n\geq 2 n≥2的矩阵群不是交换群。

三维旋转群：三维空间中所有绕固定点旋转组成的集合，群运算是两个旋转的合成，逆元素是反向旋转。 （对于单位元，书中说是单位元以显然的方式作用于所有点，很讨厌“显然”这个词，我认为是零度旋转）

变换群：所有双射 g : X → X g: X\to X g:X→X的集合形成一个群 G ( X ) G(X) G(X)。 群运算为映射的合成 ( g h ) ( x ) = g ( h ( x ) ) (gh)(x)=g(h(x)) (gh)(x)=g(h(x))，其中 x ∈ X , g , h ∈ G ( X ) x\in X, g,h\in G(X) x∈X,g,h∈G(X) 单位元为恒等映射 i d : X → X id: X\to X id:X→X， i d ( x ) = x , x ∈ X id(x)=x, x\in X id(x)=x,x∈X

如果 H ⊂ G H\subset G H⊂G，且对于任意 g , h ∈ H g,h\in H g,h∈H有 g h − 1 ∈ H gh^{-1}\in H gh−1∈H，则 H H H为 G G G的子群。 如果满足 g h g − 1 ∈ H ghg^{-1}\in H ghg−1∈H，则 H H H为 G G G的正规子群。

加法群是一个交换群。 实数集 R R R，运算 + + +就是一个加法群。 每个线性空间是一个加法群。

群同态

群同态是两个群的映射 ϕ : G → H \phi: G\to H ϕ:G→H满足： ∀ g , h ∈ G \forall g, h \in G ∀g,h∈G，都有 ϕ ( g h ) = ϕ ( g ) ϕ ( h ) \phi(gh)=\phi(g)\phi(h) ϕ(gh)=ϕ(g)ϕ(h)。 若映射为双射，则称为群同构。

群的自同构指 G G G到自身的同构，即 ϕ : G → G \phi: G\to G ϕ:G→G为同构映射。

群的所有自同构映射的合成形成一个新群，称为自同构群，记作 A u t ( G ) Aut(G) Aut(G)， A u t ( G ) Aut(G) Aut(G)刻画了 G G G的对称性。 A u t ( G ) Aut(G) Aut(G)是一种变换群。

环

如果集合 R R R是加法群，并满足以下性质，则称为环。 1、乘法封闭性：对任意 a , b ∈ R a,b \in R a,b∈R，存在 a b ∈ R ab\in R ab∈R 2、乘法结合性： a ( b c ) = ( a b ) c a(bc)=(ab)c a(bc)=(ab)c 3、乘法分配律： a ( b + c ) = a b + a c , ( b + c ) a = b a + c a a(b+c)=ab+ac, (b+c)a=ba+ca a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca 其中， a , b , c ∈ R a,b,c \in R a,b,c∈R。

域

如果集合 K K K满足以下性质，则其称为域。 1、 K K K是有单位元的加法群 2、 K K K是有单位元的乘法群 3、 K K K是一个环 4、 K K K满足乘法交换性

[1] en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics) [2] en.wikipedia.org/wiki/Vector_space [3] 数学指南-实用数学手册. 李文林 [4] 三维旋转的表示方法. blogs /Heskey0/p/16182834.html