基础算法——高精度

⾼精度

当数据的值特别⼤，各种类型都存不下的时候，此时就要⽤⾼精度算法来计算加减乘除：

先⽤字符串读⼊这个数，然后⽤数组逆序存储该数的每⼀位；利⽤数组，模拟加减乘除运算的过程。

⾼精度算法本质上还是模拟算法，⽤代码模拟⼩学列竖式计算加减乘除的过程。

一、⾼精度加法

题⽬来源：洛⾕

题⽬链接：P1601 A+B Problem（高精） - 洛谷

难度系数：★

1. 题目描述

2. 算法原理

模拟⼩学「列竖式」计算「两数相加」的过程。

1. ⽤字符串读⼊数据；

2. 将字符串的每⼀位拆分，逆序放在数组中；

假设输入字符串“439”，通过x[i] - '0'转换成数字439，通过画图得出规律：一个数字在两个数组的代码下标和为n-1-i。

 

3. 模拟列竖式计算的过程：

a. 对应位累加；b. 处理进位；c. 处理余数。

 

4. 处理结果的位数。

3. 参考代码 #include <iostream> using namespace std; const int N = 1e6 + 10; int a[N], b[N], c[N]; int la, lb, lc; // 高精度加法的模版 - c = a + b; void add(int c[], int a[], int b[]) { for(int i = 0; i < lc; i++) { c[i] += a[i] + b[i]; // 对应位相加，再加上进位 c[i + 1] += c[i] / 10; // 处理进位 c[i] %= 10; // 处理余数 } if(c[lc]) lc++; } int main() { string x, y; cin >> x >> y; // 1. 拆分每一位，逆序放在数组中 la = x.size(); lb = y.size(); lc = max(la, lb); for(int i = 0; i < la; i++) a[la - 1 - i] = x[i] - '0'; for(int i = 0; i < lb; i++) b[lb - 1 - i] = y[i] - '0'; // 2. 模拟加法的过程 add(c, a, b); // c = a + b // 输出结果 for(int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i]; return 0; } 二、⾼精度减法

题⽬来源：洛⾕

题⽬链接：P2142 高精度减法 - 洛谷

难度系数：★

1. 题目描述

2. 算法原理

模拟⼩学「列竖式」计算「两数相减」的过程。

1. ⽤字符串读⼊数据；

2. 判断两个数的⼤⼩，让较⼤的数在前。注意字典序vs数的⼤⼩：

a. 位数相等：按字典序⽐较；b. 位数不等：按照字符串的⻓度⽐较。

 注意：字符串比较大小先看第一位

3. 将字符串的每⼀位拆分，逆序放在数组中；

4. 模拟列竖式计算的过程：

a. 对应位相减求差；b. 处理借位（如果减的结果小于0往前借一位，然后这一位加上10）；

5. 处理前导零。

如997-996 ，结果为001去掉多余的两个0，当结果为000时，结果取0

3.参考代码 #include <iostream> using namespace std; const int N = 1e6 + 10; int a[N], b[N], c[N]; int la, lb, lc; // 比大小 bool cmp(string& x, string& y) { // 先比较长度 if(x.size() != y.size()) return x.size() < y.size(); // 再按照 字典序 的方式比较 return x < y; } // 高精度减法的模板 - c = a - b void sub(int c[], int a[], int b[]) { for(int i = 0; i < lc; i++) { c[i] += a[i] - b[i]; // 对应位相减，然后处理借位 if(c[i] < 0) { c[i + 1] -= 1; // 借位 c[i] += 10; } } // 处理前导零 while(lc > 1 && c[lc - 1] == 0) lc--; } int main() { string x, y; cin >> x >> y; // 比大小 if(cmp(x, y)) { swap(x, y); cout << '-'; } // 1. 拆分每一位，然后逆序放在数组中 la = x.size(); lb = y.size(); lc = max(la, lb); for(int i = 0; i < la; i++) a[la - i - 1] = x[i] - '0'; for(int i = 0; i < lb; i++) b[lb - i - 1] = y[i] - '0'; // 2. 模拟减法的过程 sub(c, a, b); // c = a - b // 输出结果 for(int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i]; return 0; } 三、⾼精度乘法

题⽬来源：洛⾕

题⽬链接：P1303 A*B Problem - 洛谷

难度系数：★

1. 题目描述

2. 算法原理 

1. ⽤字符串读⼊数据；

2. 将字符串的每⼀位拆分，逆序放在数组中；

3. 模拟⽆进位相乘再相加的过程：

a. 对应位求乘积；b. 乘完之后处理进位；c. 处理余数；

4. 处理前导零。 

⽆进位相乘再相加：

还是「列竖式」，但是每⼀位相乘的时候不考虑进位，直接把乘的结果放在对应位上；等到所有对应位置「乘完」并且「累加完」之后，「统⼀处理进位」。

如下图所⽰：

注意：与高精度加法、减法不同的是两个数（x，y）相乘最多会出现(x+y)位数 ，如最大的两位数99与最大的三位数999相乘的值为五位数98901。

3. 参考代码 #include <iostream> using namespace std; const int N = 1e6 + 10; int a[N], b[N], c[N]; int la, lb, lc; // 高精度乘法的模版 - c = a * b void mul(int c[], int a[], int b[]) { // 无进位相乘,然后相加 for(int i = 0; i < la; i++) { for(int j = 0; j < lb; j++) { c[i + j] += a[i] * b[j]; } } // 处理进位 for(int i = 0; i < lc; i++) { c[i + 1] += c[i] / 10; c[i] %= 10; } // 处理前导零 while(lc > 1 && c[lc - 1] == 0) lc--; } int main() { string x, y; cin >> x >> y; // 1. 拆分每一位，逆序放在数组中 la = x.size(); lb = y.size(); lc = la + lb; for(int i = 0; i < la; i++) a[la - 1 - i] = x[i] - '0'; for(int i = 0; i < lb; i++) b[lb - 1 - i] = y[i] - '0'; // 2. 模拟乘法的过程 mul(c, a, b); // c = a * b // 输出结果 for(int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i]; return 0; } 四、⾼精度除法

题⽬来源：洛⾕

题⽬链接：P1480 A/B Problem - 洛谷

难度系数：★

1. 题目描述 

2. 算法原理

模拟⼩学「列竖式」计算「两数相除」的过程（注意，我们这⾥是「⾼精度÷低精度」）。

定义⼀个指针 i 从「⾼位」遍历被除数，⼀个变量 t 标记当前「被除的数」，记除数是 b；

更新⼀个当前被除的数 t =t×10+a[i]  ；t/b表⽰这⼀位的商，t%b表⽰这⼀位的余数； ⽤ t 记录这⼀次的余数，遍历到下⼀位的时候重复上⾯的过程 

被除数遍历完毕之后，t ⾥⾯存的就是余数，但是商可能存在前导 0 ，注意清空。

 

3. 参考代码 #include <iostream> using namespace std; const int N = 1e6 + 10; typedef long long LL; int a[N], b, c[N]; int la, lc; // 高精度除法的模板 - c = a / b （高精度 / 低精度） void sub(int c[], int a[], int b) { LL t = 0; // 标记每次除完之后的余数 for(int i = la - 1; i >= 0; i--) { // 计算当前的被除数 t = t * 10 + a[i]; c[i] = t / b; t %= b; } // 处理前导 0 while(lc > 1 && c[lc - 1] == 0) lc--; } int main() { string x; cin >> x >> b; la = x.size(); for(int i = 0; i < la; i++) a[la - 1 - i] = x[i] - '0'; // 模拟除法的过程 lc = la; sub(c, a, b); // c = a / b for(int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i]; return 0; }