数值分析与科学计算导引——误差与算法举例

文章目录 第一章 数值分析与科学计算导引1.1 数值分析的对象、作用与特点数值分析的对象数值分析的作用数值分析的特点 1.2 数值计算的误差误差分类误差与有效数字数值运算的误差估计 1.3 算法举例秦九韶算法求多项式值开根号迭代算法牛顿切线加权平均的松弛技术

第一章 数值分析与科学计算导引 1.1 数值分析的对象、作用与特点

数值分析是数学的一个分支，以下是关于其对象、作用与特点的具体介绍：

数值分析的对象

数值分析主要研究的是如何利用计算机等工具，对各种数学问题进行数值求解。具体来说，其对象包括以下几类：

方程求解：涵盖代数方程和微分方程等。例如，求解一元二次方程(ax^{2}+bx + c = 0)的根，或者求解描述物理过程的偏微分方程，如热传导方程、波动方程等。数值逼近：对于一些复杂的函数，难以直接进行计算和处理，需要用简单的函数（如多项式函数、三角函数等）来逼近。比如在计算机图形学中，用多项式曲线来逼近复杂的图形轮廓。数值积分与微分：计算定积分的值以及函数的导数的数值近似。在物理中计算物体的质心、转动惯量等问题时，常需要进行数值积分；在分析信号的变化率等问题时，需要数值微分。线性代数问题：像求解线性方程组(Ax = b)，其中(A)是系数矩阵，(x)是未知数向量，(b)是常数向量；以及求矩阵的特征值和特征向量等问题。在结构力学、电路分析等领域有广泛应用。 数值分析的作用 科学研究：在物理学、化学、天文学等学科中，许多问题无法得到精确的解析解，数值分析提供了一种有效的求解途径。比如在计算天体力学中行星的轨道时，通过数值方法可以得到满足一定精度要求的轨道数据。工程技术：在航空航天、机械制造、电子工程等领域，数值分析用于设计和优化。例如在飞机机翼的设计中，通过数值模拟计算气流在机翼表面的流动情况，以优化机翼的形状和结构。经济金融：用于风险评估、投资组合优化、期权定价等。如利用数值方法求解布莱克-斯科尔斯期权定价模型，为金融市场的交易和风险管理提供重要依据。数据分析与处理：在大数据时代，数值分析在数据拟合、数据插值、数据压缩等方面发挥着重要作用。例如在气象数据处理中，通过数值方法对离散的气象观测数据进行插值和拟合，得到连续的气象场分布。 数值分析的特点 近似性：由于计算机的字长有限等原因，数值分析得到的结果通常是近似解。例如对无理数(\pi)，在计算机中只能用有限位小数来表示，计算结果必然存在一定的误差。递推性：很多数值算法都采用递推的方式进行计算，通过已知的结果逐步推出后续的结果。如在计算斐波那契数列时，利用(F(n)=F(n - 1)+F(n - 2))的递推关系，从初始值(F(0)=0)，(F(1)=1)开始逐步计算出后续的项。稳定性：数值算法的稳定性至关重要，如果一个算法在计算过程中对初始数据的微小扰动非常敏感，导致结果出现很大偏差，那么这个算法就是不稳定的。例如在求解线性方程组时，有的算法可能因为系数矩阵的某些特性而出现数值不稳定的情况。高效性：需要在有限的时间和计算资源下得到满足精度要求的结果。因此，设计高效的算法是数值分析的重要任务之一。比如在矩阵乘法中，Strassen算法通过分治思想，减少了乘法运算的次数，提高了计算效率。 1.2 数值计算的误差 误差分类 #mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC {font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;fill:#333;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .error-icon{fill:#552222;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .error-text{fill:#552222;stroke:#552222;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .edge-thickness-normal{stroke-width:2px;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .edge-pattern-dashed{stroke-dasharray:3;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .edge-pattern-dotted{stroke-dasharray:2;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .marker{fill:#333333;stroke:#333333;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .marker.cross{stroke:#333333;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC svg{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .label{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;color:#333;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .cluster-label text{fill:#333;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .cluster-label span{color:#333;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .label text,#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC span{fill:#333;color:#333;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .node rect,#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .node circle,#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .node ellipse,#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .node polygon,#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .node path{fill:#ECECFF;stroke:#9370DB;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .node .label{text-align:center;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .node.clickable{cursor:pointer;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .arrowheadPath{fill:#333333;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .edgePath .path{stroke:#333333;stroke-width:2.0px;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .flowchart-link{stroke:#333333;fill:none;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .edgeLabel{background-color:#e8e8e8;text-align:center;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .edgeLabel rect{opacity:0.5;background-color:#e8e8e8;fill:#e8e8e8;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .cluster rect{fill:#ffffde;stroke:#aaaa33;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .cluster text{fill:#333;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC .cluster span{color:#333;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC div.mermaidTooltip{position:absolute;text-align:center;max-width:200px;padding:2px;font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:12px;background:hsl(80, 100%, 96.2745098039%);border:1px solid #aaaa33;border-radius:2px;pointer-events:none;z-index:100;}#mermaid-svg-ElVc3fXa8rBRILnC :root{--mermaid-font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;} 误差 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 误差与有效数字

绝对误差：简称误差,设 x x x为准确值， x ∗ x^* x∗为 x x x的一个近似值,称 e ∗ = x ∗ − x e^*=x^*-x e∗=x∗−x为绝对误差。 绝对误差限： ∣ e ∗ ∣ = ∣ x ∗ − x ∣ ⩽ ϵ ( x ∗ ) |e^*|=|x^*-x|\leqslant\epsilon(x^*) ∣e∗∣=∣x∗−x∣⩽ϵ(x∗), ϵ ( x ∗ ) \epsilon(x^*) ϵ(x∗)称绝对误差限。 相对误差： e r ∗ = x ∗ − x x ∗ = e ∗ x ∗ e_{r}^{*}=\frac{x^*-x}{x^*}=\frac{e^*}{x^*} er∗​=x∗x∗−x​=x∗e∗​ 相对误差限： ∣ ϵ r ( x ∗ ) ∣ = ∣ ϵ ( x ∗ ) x ∗ |\epsilon_r(x^*)|=|\frac{\epsilon(x^*)}{x^*} ∣ϵr​(x∗)∣=∣x∗ϵ(x∗)​| 有效数字：若近似值 x ∗ x^* x∗的误差限是一位的半个单位，该位到 x ∗ x^* x∗的第一位非零数字共 n n n位，就说 x ∗ x^* x∗有 n n n位有效数字。 相对误差比值： ∣ x f ′ f ∣ |\frac{xf^{'}}{f}| ∣fxf′​∣

容易得到以下定理： 四舍五入得到的数据，其有效位数的确定方法如下：从左边第一个非零数字起，到末位数字止，所有的数字，包括 0 0 0，都是这个数的有效数字。设近似数 x ∗ x^* x∗表示为： x ∗ = ± 1 0 m ( ∑ i = 1 l a i × 1 0 − l + 1 ) x^*=\pm10^m(\sum_{i=1}^{l}a_i\times10^{-l+1}) x∗=±10m(i=1∑l​ai​×10−l+1) 且 x ∗ x^* x∗具有 n n n位有效数字，则其相对误差限满足以下关系： ϵ r ( x ∗ ) ⩽ 1 2 a 1 × 1 0 − ( n − 1 ) \epsilon_r(x^*)\leqslant\frac{1}{2a_1}\times10^{-(n - 1)} ϵr​(x∗)⩽2a1​1​×10−(n−1)。 ϵ r ( x ∗ ) ⩽ 1 2 ( a 1 + 1 ) × 1 0 − ( n − 1 ) \epsilon_r(x^*)\leqslant\frac{1}{2(a_1+1)}\times10^{-(n - 1)} ϵr​(x∗)⩽2(a1​+1)1​×10−(n−1),则 x ∗ x^* x∗至少具有 n n n位有效数字。 数值运算的误差估计

ϵ ( ∑ i = 1 n ( ± ) x i ∗ ) ⩽ ∑ i = 1 n ϵ ( x i ∗ ) \epsilon(\sum_{i=1}^{n}(\pm)x_{i}^{*})\leqslant\sum_{i=1}^{n}\epsilon(x_{i}^{*}) ϵ(i=1∑n​(±)xi∗​)⩽i=1∑n​ϵ(xi∗​) ϵ ( ∏ i = 1 n x i ∗ ) ⩽ ∑ j = 1 n ( ϵ ( x j ∗ ) ∏ i = 1 , i ≠ j n ∣ x i ∗ ∣ ) \epsilon(\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{*})\leqslant\sum_{j=1}^{n}(\epsilon(x_{j}^{*})\prod_{i=1,i\neq j}^{n}|x_{i}^{*}|) ϵ(i=1∏n​xi∗​)⩽j=1∑n​(ϵ(xj∗​)i=1,i=j∏n​∣xi∗​∣) ϵ ( f ( x ∗ ) ) = ∣ d f ( x ∗ ) d x ∣ ϵ ( x ∗ ) \epsilon_(f(x^*))=|\frac{df(x^*)}{dx}|\epsilon(x^{*}) ϵ(​f(x∗))=∣dxdf(x∗)​∣ϵ(x∗) ϵ ( f ( x ∗ , y ∗ ) ) ≈ ( ∂ f ∂ x ) 2 ϵ 2 ( x ∗ ) + ( ∂ f ∂ y ) 2 ϵ 2 ( y ∗ ) \epsilon(f(x^*, y^*))\approx\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2\epsilon^2(x^*)+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2\epsilon^2(y^*)} ϵ(f(x∗,y∗))≈(∂x∂f​)2ϵ2(x∗)+(∂y∂f​)2ϵ2(y∗) ​

1.3 算法举例 秦九韶算法求多项式值 开根号迭代算法 牛顿切线 加权平均的松弛技术