动态规划（DynamicProgramming）详解

动态规划（Dynamic Programming）详解 目录 动态规划简介 动态规划核心思想 动态规划问题的基本要素 动态规划应用步骤 经典动态规划问题解析 动态规划优化技巧 实际应用案例 动态规划的优缺点 总结与学习资源 1. 动态规划简介

动态规划（Dynamic Programming, DP） 是一种解决复杂问题的算法设计范式，通过将原问题分解为相对简单的子问题，并利用子问题之间的关系，避免重复计算，最终高效求解全局最优子结构问题。

核心目标：以空间换时间，降低时间复杂度（通常从指数级降至多项式级）。 适用场景：最优化问题、计数问题、存在重叠子问题和最优子结构的问题（如背包问题、路径规划、编辑距离等）。 2. 动态规划核心思想 2.1 三大关键特性

最优子结构（Optimal Substructure） 问题的最优解包含其子问题的最优解。 示例：最短路径中，若路径A→B→C是A到C的最短路径，则A→B和B→C也必须是各自段的最短路径。

重叠子问题（Overlapping Subproblems） 子问题会被重复计算多次，通过记忆化（缓存中间结果）减少冗余计算。

无后效性（Markov Property） 当前状态仅与之前状态有关，与后续决策无关。

2.2 与分治法、贪心算法的区别 方法 子问题独立性 重复计算 最优性保证 分治法 子问题独立 可能重复 不保证 贪心算法 自顶向下选择 无 局部最优 动态规划 依赖子问题 避免重复 全局最优 3. 动态规划问题的基本要素 3.1 状态定义（State） 用 dp[i][j] 或 dp[i] 表示问题的某个中间状态。 示例：在背包问题中，dp[i][w] 表示前 i 个物品在容量 w 下的最大价值。 3.2 状态转移方程（State Transition Equation） 描述状态之间的递推关系，是动态规划的核心公式。 示例：斐波那契数列的 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。 3.3 边界条件（Base Case） 初始化最小子问题的解。 示例：斐波那契数列中 dp[0] = 0, dp[1] = 1。 4. 动态规划应用步骤 问题分析 确认问题是否满足最优子结构和重叠子问题特性。 定义状态