高等代数笔记—欧几里得空间、双线性函数

欧几里得空间（欧氏空间） V V V定义： V V V是实数域 R R R上线性空间 在 V V V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作 ( α , β ) (\alpha,\beta) (α,β)，并且内积满足以下性质： 1、 ( α , β ) = ( β , α ) (\alpha,\beta)=(\beta, \alpha) (α,β)=(β,α) 2、 ( k α , β ) = k ( α , β ) (k\alpha,\beta)=k(\alpha, \beta) (kα,β)=k(α,β) 3、 ( α + γ , β ) = ( α , β ) + ( γ , β ) (\alpha+\gamma,\beta)=(\alpha, \beta)+(\gamma, \beta) (α+γ,β)=(α,β)+(γ,β) 4、 ( α , α ) ≥ 0 (\alpha,\alpha)\geq 0 (α,α)≥0，当且仅当 α = 0 \alpha=0 α=0时 ( α , α ) = 0 (\alpha,\alpha)=0 (α,α)=0 其中， α , β , γ ∈ V \alpha,\beta,\gamma \in V α,β,γ∈V。

内积举例： R n R^n Rn中的两个元素为 ( a 1 , . . . , a n ) , ( b 1 , . . . , b n ) (a_1,...,a_n), (b_1,...,b_n) (a1​,...,an​),(b1​,...,bn​)，内积为 Σ i = 1 n a i b i \Sigma_{i=1}^n a_i b_i Σi=1n​ai​bi​； C [ a , b ] C[a,b] C[a,b]或 R [ x ] R[x] R[x]中的两个元素为 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)，内积为 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x \int_a^b f(x)g(x)dx ∫ab​f(x)g(x)dx；

定义向量夹角： < α , β > = a r c c o s ( ( α , β ) ∣ α ∣ ⋅ ∣ β ∣ ) , < α , β > ∈ [ 0 , π ] <\alpha, \beta> = arccos(\frac{(\alpha,\beta)}{|\alpha|\cdot |\beta|}), <\alpha, \beta> \in [0, \pi] <α,β>=arccos(∣α∣⋅∣β∣(α,β)​),<α,β>∈[0,π]

( α , β ) = X T A Y (\alpha,\beta)=X^TAY (α,β)=XTAY 其中， α , β ∈ V \alpha, \beta \in V α,β∈V， ϵ 1 , . . . , ϵ n \epsilon_1,...,\epsilon_n ϵ1​,...,ϵn​是 V V V的一组基， X , Y X,Y X,Y分别是 α , β \alpha, \beta α,β在这组基下的坐标， A A A称为这组基的度量矩阵。 不同基的度量矩阵合同。 度量矩阵是正定的。

定理： L ( ϵ 1 , . . . , ϵ i ) = L ( η 1 , . . . , η i ) , i = 1 , . . . , n L(\epsilon_1,...,\epsilon_i)=L(\eta_1,...,\eta_i), i=1,...,n L(ϵ1​,...,ϵi​)=L(η1​,...,ηi​),i=1,...,n 其中， ϵ 1 , . . . , ϵ n \epsilon_1,...,\epsilon_n ϵ1​,...,ϵn​是 V V V的一组基， η 1 , . . . , η i \eta_1,...,\eta_i η1​,...,ηi​是 V V V的一组标准正交基。

欧式空间中同构映射的定义： V , V ′ V,V' V,V′是 R R R上的欧氏空间， σ : V → V ′ \sigma: V\to V' σ:V→V′为双射并且满足： 1、 σ ( α + β ) = σ ( α ) + α ( β ) \sigma(\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \alpha(\beta) σ(α+β)=σ(α)+α(β) 2、 σ ( k α ) = k σ ( α ) \sigma(k\alpha) = k\sigma(\alpha) σ(kα)=kσ(α) 3、 ( σ ( α ) , σ ( β ) ) = ( α , β ) (\sigma(\alpha), \sigma(\beta)) = (\alpha, \beta) (σ(α),σ(β))=(α,β) （与线性空间的同构映射相比，多了第三条）

同构是欧氏空间之间的关系，具有反身性、对称性、传递性。 每个欧式空间都与 R n R^n Rn同构。

定理：两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们维数相同。

正交变换定义：如果欧氏空间 V V V的线性变换 A \mathscr{A} A满足 ( A α , A β ) = ( α , β ) (\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\beta) = (\alpha,\beta) (Aα,Aβ)=(α,β)，则 A \mathscr{A} A称为正交变换。

子空间正交的定义：欧式空间中两个子空间 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1​,V2​，如果 ∀ α ∈ V 1 , ∀ β ∈ V 2 \forall \alpha \in V_1, \forall \beta \in V_2 ∀α∈V1​,∀β∈V2​，恒有 ( α , β ) = 0 (\alpha,\beta)=0 (α,β)=0，则称 V 1 , V 2 V_1, V_2 V1​,V2​正交，记作 V 1 ⊥ V 2 V_1 \perp V_2 V1​⊥V2​。 V 1 ∪ V 2 = {   0   } V_1 \cup V_2 = \set{0} V1​∪V2​={0}

定理：如果一些子空间两两正交，那么这些子空间的和为直和。

如果 V 1 ⊥ V 2 , V 1 + V 2 = V V_1 \perp V_2, V_1+V_2=V V1​⊥V2​,V1​+V2​=V，则 V 2 ( V 1 ) V_2(V_1) V2​(V1​)为 V 1 ( V 2 ) V_1(V_2) V1​(V2​)的正交补。

定理： n n n维欧氏空间的每个子空间的正交补都唯一

酉空间是复数域上的欧氏空间。

线性函数 σ \sigma σ的定义： V V V是数域 F F F上的线性空间，映射 σ : V → F \sigma: V\to F σ:V→F满足： 1、 σ ( α + β ) = σ ( α ) + σ ( β ) \sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+ \sigma(\beta) σ(α+β)=σ(α)+σ(β) 2、 σ ( k α ) = k σ ( α ) \sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha) σ(kα)=kσ(α) 其中， k ∈ F , α , β ∈ V k\in F, \alpha, \beta \in V k∈F,α,β∈V

F F F上的一个 n n n线性空间为 V V V， V V V上的全体线性函数记作 L ( V , F ) L(V,F) L(V,F)。 L ( V , F ) L(V,F) L(V,F)称为 V V V的对偶空间，记作 V ∗ V^* V∗。

ϵ 1 , . . . , ϵ 2 \epsilon_1,...,\epsilon_2 ϵ1​,...,ϵ2​为 V V V的一组基， V V V上的 n n n个线性函数 f 1 , . . . , f n f_1,...,f_n f1​,...,fn​满足： f i ( ϵ j ) = 1 , i = j f_i(\epsilon_j)=1,i=j fi​(ϵj​)=1,i=j f i ( ϵ j ) = 0 , i ≠ j f_i(\epsilon_j)=0, i\neq j fi​(ϵj​)=0,i=j 则 f 1 , . . . , f n f_1,...,f_n f1​,...,fn​是 L ( V , F ) L(V,F) L(V,F)的一组基，称为 ϵ 1 , . . . , ϵ 2 \epsilon_1,...,\epsilon_2 ϵ1​,...,ϵ2​的对偶基。

定理：如果由 η 1 , . . . , η 2 \eta_1,...,\eta_2 η1​,...,η2​到 ϵ 1 , . . . , ϵ 2 \epsilon_1,...,\epsilon_2 ϵ1​,...,ϵ2​的过渡矩阵为 A A A，则由 f 1 , . . . , f n f_1,...,f_n f1​,...,fn​到 g 1 , . . . , g n g_1,...,g_n g1​,...,gn​的过渡矩阵为 ( A T ) − 1 (A^T)^{-1} (AT)−1。 其中， η 1 , . . . , η 2 \eta_1,...,\eta_2 η1​,...,η2​与 ϵ 1 , . . . , ϵ 2 \epsilon_1,...,\epsilon_2 ϵ1​,...,ϵ2​为 V V V的两组基，它们的对偶基分别是 f 1 , . . . , f n f_1,...,f_n f1​,...,fn​与 g 1 , . . . , g n g_1,...,g_n g1​,...,gn​。

x ∈ V , f ∈ V ∗ x\in V, f\in V^* x∈V,f∈V∗，若 V ∗ V^* V∗上的一个函数 x ∗ ∗ x^{**} x∗∗满足： x ∗ ∗ ( f ) = f ( x ) x^{**}(f)=f(x) x∗∗(f)=f(x)，则 x ∗ ∗ ∈ V ∗ ∗ x^{**} \in V^{**} x∗∗∈V∗∗。

定理： V V V为线性空间，则 σ : V → V ∗ ∗ \sigma: V \to V^{**} σ:V→V∗∗为同构映射。

双线性函数的定义： V V V是数域 F F F上的线性空间，二元映射 σ : V × V → F \sigma: V \times V\to F σ:V×V→F满足： 1、 f ( α , k 1 β 1 + k 2 β 2 ) = k 1 f ( α , β 1 ) + k 2 f ( α , β 2 ) f(\alpha,k_1 \beta_1 + k_2 \beta_2) = k_1 f(\alpha,\beta_1) + k_2 f(\alpha,\beta_2) f(α,k1​β1​+k2​β2​)=k1​f(α,β1​)+k2​f(α,β2​) 2、 f ( k 1 β 1 + k 2 β 2 , α ) = k 1 f ( β 1 , α ) + k 2 f ( b e t a 2 , α ) f(k_1 \beta_1 + k_2 \beta_2, \alpha) = k_1 f(\beta_1,\alpha) + k_2 f(beta_2, \alpha) f(k1​β1​+k2​β2​,α)=k1​f(β1​,α)+k2​f(beta2​,α) α , β 1 , β 2 ∈ V , k 1 , k 2 ∈ F \alpha,\beta_1,\beta_2\in V, k_1, k_2 \in F α,β1​,β2​∈V,k1​,k2​∈F

双线性函数举例： 1、欧式空间的内积 2、 f ( X , Y ) = X T A Y f(X,Y) = X^TAY f(X,Y)=XTAY，其中 A , X , Y ∈ F n A, X,Y \in F^n A,X,Y∈Fn 3、 f ( α , β ) = f 1 ( α ) f 2 ( β ) f(\alpha,\beta)=f_1(\alpha)f_2(\beta) f(α,β)=f1​(α)f2​(β)，其中 f 1 , f 2 f_1,f_2 f1​,f2​是 V V V上的线性函数， α , β ∈ V \alpha,\beta\in V α,β∈V

度量矩阵的定义： ϵ 1 , . . . , ϵ 2 \epsilon_1,...,\epsilon_2 ϵ1​,...,ϵ2​为 n n n维线性空间 V V V的一组基， f f f是 V V V上的双线性函数，则 A = [ f ( ϵ i , ϵ j ) ] n × n A=[f(\epsilon_i, \epsilon_j)]_{n\times n} A=[f(ϵi​,ϵj​)]n×n​称为 f f f在该组基下的度量矩阵。

如果 ∀ β ∈ V , f ( α , β ) = 0 \forall \beta \in V, f(\alpha,\beta)=0 ∀β∈V,f(α,β)=0，可推出 α = 0 \alpha=0 α=0，则称该双线性函数 f f f为非退化的。 如果 f ( α , β ) = f ( β , α ) f(\alpha,\beta)=f(\beta, \alpha) f(α,β)=f(β,α)，则称该双线性函数 f f f为对称的。 如果 f ( α , β ) = − f ( β , α ) f(\alpha,\beta)=-f(\beta, \alpha) f(α,β)=−f(β,α)，则称该双线性函数 f f f为反对称的。

V V V是数域 F F F上的线性空间， 在 V V V上定义了一个非退化的双线性函数 f f f，则称 V V V为双线性度量空间； 在 V V V上定义了一个对称且非退化的双线性函数 f f f，则称 V V V为正交空间； V V V为 n n n维的，在 V V V上定义了一个对称且非退化的双线性函数 f f f，则称 V V V为准欧式空间； 在 V V V上定义了一个反对称且非退化的双线性函数 f f f，则称 V V V为辛空间。