20.【线性代数】——坐标系中，平行四边形面积=矩阵的行列式

在坐标系中，由向量（a,b）和向量(c,d)组成平行四边形的面积= 矩阵 [ a b c d ] \begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix} [ac​bd​]的行列式，即： 平行四边形的面积 = ∣ a b c d ∣ = a d − b c 平行四边形的面积= \begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix} = ad-bc 平行四边形的面积= ​ac​bd​ ​=ad−bc

h

S表示面积 S 红4 = c d S 绿5 = a b S 橙6 = a b S 黄7 = c d S_{\text{红4}} = cd \newline S_{\text{绿5}} = ab \newline S_{\text{橙6}} = ab \newline S_{\text{黄7}} = cd S红4​=cdS绿5​=abS橙6​=abS黄7​=cd 得出 S 绿5 = S 橙6 S 红4 = S 黄7 S 蓝8 + S 绿5 + S 红4 = a d S_{\text{绿5}}=S_{\text{橙6}} \newline S_{\text{红4}} = S_{\text{黄7}} \newline S_{\text{蓝8}} + S_{\text{绿5}} + S_{\text{红4}} = ad S绿5​=S橙6​S红4​=S黄7​S蓝8​+S绿5​+S红4​=ad

图中， S 紫 = S 紫1 + S 紫2 + S 紫3 = b c S_{\text{紫}} = S_{\text{紫1}} + S_{\text{紫2}} +S_{\text{紫3}} = bc S紫​=S紫1​+S紫2​+S紫3​=bc 现在看平行四边形的面积，如下： S 平行四边形 = S 蓝8 + ( S 橙6 − S 紫2 ) + ( S 黄7 − S 紫1 ) − S 紫3 S_{\text{平行四边形}} = S_{\text{蓝8}} + (S_{\text{橙6}} - S_{\text{紫2}}) + (S_{\text{黄7}} - S_{\text{紫1}}) - S_{\text{紫3}} S平行四边形​=S蓝8​+(S橙6​−S紫2​)+(S黄7​−S紫1​)−S紫3​

减去 S 紫3 S_{\text{紫3}} S紫3​，是因为 S 紫3 S_{\text{紫3}} S紫3​加了两次

S 平行四边形 = S 蓝8 + ( S 橙6 − S 紫2 ) + ( S 黄7 − S 紫1 ) − S 紫3 = S 蓝8 + S 橙6 + S 黄7 − S 紫1 − S 紫2 − S 紫3 = ( S 蓝8 + S 绿5 + S 红4 ) − ( S 紫1 + S 紫2 + S 紫3 ) = a d − b c \begin{aligned} S_{\text{平行四边形}} & = S_{\text{蓝8}} + (S_{\text{橙6}} - S_{\text{紫2}}) + (S_{\text{黄7}} - S_{\text{紫1}}) - S_{\text{紫3}} \newline & = S_{\text{蓝8}} + S_{\text{橙6}} + S_{\text{黄7}} - S_{\text{紫1}} - S_{\text{紫2}}-S_{\text{紫3}} \newline & = (S_{\text{蓝8}} + S_{\text{绿5}} + S_{\text{红4}}) - (S_{\text{紫1}} +S_{\text{紫2}}+S_{\text{紫3}}) \newline & = ad-bc \end{aligned} S平行四边形​​=S蓝8​+(S橙6​−S紫2​)+(S黄7​−S紫1​)−S紫3​=S蓝8​+S橙6​+S黄7​−S紫1​−S紫2​−S紫3​=(S蓝8​+S绿5​+S红4​)−(S紫1​+S紫2​+S紫3​)=ad−bc​