3.3Dodgson算法

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算法过程

  Dodgson不仅仅是一个数学家，其实他更著名的一个身份是作家，写出了著名的儿童文学作品《爱丽丝梦游仙境》。他发明文学作品时用笔名Lewis Carroll，发表数学论文时用Dodgson，所以很难把这两个名字联系起来。   闲话不说了，先说说他的算法过程。总体来说，算法过程是一个类似于Chió算法的过程，把矩阵不断缩小，直到缩小到 1 × 1 1\times 1 1×1的矩阵。但是细节与Chió算法有很大不同,Dodgson算法是每次缩小两阶。算法具体是如下过程：

先通过行倍加，让中心块interior没有0，中心块是一个 ( n − 2 ) × ( n − 2 ) (n-2)\times (n-2) (n−2)×(n−2)的矩阵，这个中心块是原矩阵的子矩阵就叫做 S S S吧。把每相邻四个元素的行列式计算出来，组成一个 ( n − 1 ) × ( n − 1 ) (n-1)\times (n-1) (n−1)×(n−1)的矩阵，记作矩阵 B B B。还没完，把矩阵B的每相邻四个元素的行列式计算出来，这样组成一个 ( n − 2 ) × ( n − 2 ) (n-2)\times (n-2) (n−2)×(n−2)的矩阵，记作矩阵 C C C，把 C C C的每个元素除于A的中心块的对应位置元素，得到矩阵 D D D。如果D是 1 × 1 1\times 1 1×1的矩阵，那么原矩阵的行列式就等于 D D D的行列式。如果不是，再进行一轮迭代，就计算B的行列式，但是需要跳过第2步的计算，用D作为第2步计算的结果。

  我以一个 5 × 5 5\times 5 5×5例子讲述这个过程： A = ( − 1 1 − 1 2 2 1 − 1 2 2 3 1 1 2 − 1 − 3 2 − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) B = ( 0 1 − 6 2 2 − 4 − 6 − 3 − 3 3 3 2 3 − 2 0 0 ) C = ( − 2 − 30 30 − 6 6 − 3 − 3 6 0 ) D = ( 2 − 15 15 − 6 3 3 3 6 0 ) A= \begin{pmatrix}-1 & 1 & -1 & 2 & 2\\ 1 & -1 & 2 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 2 & -1 & -3\\ 2 & -1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix}\\ B= \begin{pmatrix}0 & 1 & -6 & 2\\ 2 & -4 & -6 & -3\\ -3 & 3 & 3 & 2\\ 3 & -2 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\\ C= \begin{pmatrix}-2 & -30 & 30\\ -6 & 6 & -3\\ -3 & 6 & 0\\ \end{pmatrix}\\ D= \begin{pmatrix}2 & -15 & 15\\ -6 & 3 & 3\\ 3 & 6 & 0\\ \end{pmatrix}\\ A= ​−11121​1−11−11​−12211​22−111​23−311​ ​B= ​02−33​1−43−2​−6−630​2−320​ ​C= ​−2−6−3​−3066​30−30​ ​D= ​2−63​−1536​1530​ ​   得到的结果D不是 1 × 1 1\times 1 1×1的矩阵，那么计算B的行列式，但是把D作为第二步的运算结果： A = ( 0 1 − 6 2 2 − 4 − 6 − 3 − 3 3 3 2 3 − 2 0 0 ) B = ( 2 − 15 15 − 6 3 3 3 6 0 ) C = ( − 84 − 90 − 45 − 18 ) D = ( 21 15 − 15 − 6 ) A= \begin{pmatrix}0 & 1 & -6 & 2\\ 2 & -4 & -6 & -3\\ -3 & 3 & 3 & 2\\ 3 & -2 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\\ B= \begin{pmatrix}2 & -15 & 15\\ -6 & 3 & 3\\ 3 & 6 & 0\\ \end{pmatrix}\\ C= \begin{pmatrix}-84 & -90\\ -45 & -18\\ \end{pmatrix}\\ D= \begin{pmatrix}21 & 15\\ -15 & -6\\ \end{pmatrix} A= ​02−33​1−43−2​−6−630​2−320​ ​B= ​2−63​−1536​1530​ ​C=(−84−45​−90−18​)D=(21−15​15−6​)    D D D是一个 2 × 2 2\times 2 2×2的矩阵还不行，还得缩小，再来： A = ( 2 − 15 15 − 6 3 3 3 6 0 ) B = ( 21 15 − 15 − 6 ) C = ( 99 ) D = ( 33 ) A= \begin{pmatrix}2 & -15 & 15\\ -6 & 3 & 3\\ 3 & 6 & 0\\ \end{pmatrix}\\ B= \begin{pmatrix}21 & 15\\ -15 & -6\\ \end{pmatrix}\\ C= \begin{pmatrix}99\\ \end{pmatrix}\\ D= \begin{pmatrix}33\\ \end{pmatrix} A= ​2−63​−1536​1530​ ​B=(21−15​15−6​)C=(99​)D=(33​)   最终结果出来了，是33.

Python实现

  我只贴相关核心代码,我的代码中没有判断中心块是否含有0，不过这是为了学习算法，而不是用于实际生产项目，所以我就没继续完善：

def interior(self): # Dodgson算法的中心块子矩阵 n = len(self.__vectors) array = [[0 for _ in range(n - 2)] for _ in range(n - 2)] # i 代表行 j代表列 for i in range(0, n - 2): for j in range(0, n - 2): # 如果column = 0 array[j][i] = self.__vectors[j + 1][i + 1] return Matrix(array) def dodgson_condensation(self): n = len(self.__vectors) array = [[0 for _ in range(n - 1)] for _ in range(n - 1)] for i in range(0, n - 1): for j in range(0, n - 1): # 每个元素是2x2矩阵的行列式 m = Matrix([[self.__vectors[i][j], self.__vectors[i][j + 1]], [self.__vectors[i + 1][j], self.__vectors[i + 1][j + 1]]]) array[i][j] = m.determinant2x2() return Matrix(array) def dodgson(self, b=None): n = len(self.__vectors) if n == 1: return self.__vectors[0][0] if n == 2 and b is None: return self.determinant2x2() s = self.interior() if b is None: b = self.dodgson_condensation() c = b.dodgson_condensation() d = c.divide_elements(s) if len(d.__vectors) == 1: return d.dodgson() return b.dodgson(d) def determinant2x2(self): return self.__vectors[0][0] * self.__vectors[1][1] - self.__vectors[0][1] * self.__vectors[1][0] def divide_elements(self, other): array = copy.deepcopy(self.__vectors) for i, vector in enumerate(array): for j, e in enumerate(vector): vector[j] = vector[j] / other.__vectors[i][j] return Matrix(array)