[数据结构]红黑树，详细图解插入

目录

一、红黑树的概念

二、红黑树的性质

三、红黑树节点的定义

四、红黑树的插入（步骤）

1.为什么新插入的节点必须给红色？

2、插入红色节点后，判定红黑树性质是否被破坏

五、插入出现连续红节点情况分析+图解（看uncle节点）

5.1、uncle存在且为红

5.2、uncle不存在

1、单旋

2、双旋

5.3、uncle存在且为黑

1、单旋

2、双旋

六、插入总结

1、红黑树插入的两种步骤

 2、插入代码

七、红黑树总结及代码

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一、红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或 Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，

红黑树确保——没有一条路径会比其他路径长出两倍，因而是接近平衡的

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二、红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色

2. 根节点是黑色的 

3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的 （没有连续的红节点）

4. 从任一结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑结点 

5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是NIL空结点)

        最优情况：全黑或每条路径都是一黑一红的满二叉树，高度logN

        最差情况：每颗子树左子树全黑，右子树一黑一红。高度2*logN。

        可以发现，最坏情况的时间复杂度和AVL树一样，都是O(logN)，但是红黑树这种近似平衡的结构减少了大量旋转，综合性能优于AVL树。

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三、红黑树节点的定义 enum Colour { RED, BLACK }; template<class K, class V> struct RBTreeNode { RBTreeNode<K, V>* _left; RBTreeNode<K, V>* _right; RBTreeNode<K, V>* _parent; pair<K, V> _kv; Colour _col; RBTreeNode(const pair<K, V>& kv) :_left(nullptr) , _right(nullptr) , _parent(nullptr) , _kv(kv) , _col(RED) {} };

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四、红黑树的插入（步骤）

1.为什么新插入的节点必须给红色？

（1）新节点给红色，可能出现连续红节点

（2）如果新节点给黑色，必定会违反性质4（其每条路径的黑色节点数量相同）

2、插入红色节点后，判定红黑树性质是否被破坏

因为新节点的默认颜色是红色，所以

（1）双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何 性质，则不需要调整；

（2）双亲节点为红色，就会出现连续的红节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：见下一部分

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五、插入出现连续红节点情况分析+图解（看uncle节点）

约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

下面的分析都是以p为g的左孩子为例

5.1、uncle存在且为红

cur插入后，p和u变黑，g变红

（1）g没有父亲，g为根，g变黑

（2）g有父亲。其为黑，结束；其为红，后把g当成cur，继续向上调整

5.2、uncle不存在

u不存在，则cur一定是新插入的节点。

（如果cur不是新插入的节点，则cur和p一定有一个节点是黑色，否则每条路径黑色节点不相同）

下图为解释：

1、单旋

右单旋

2、双旋

 左单旋 + 右单旋 

5.3、uncle存在且为黑

uncle存在且为黑，是情况一变来的，所以cur原来的节点一定是黑色的。

现在其是红色的原因是，cur的子树在调整过程中将cur的颜色由黑变红。

1、单旋

右单旋

2、双旋

左单旋 + 右单旋

六、插入总结 1、红黑树插入的两种步骤

1、uncle存在且为红

2、uncle不存在 或者 uncle存在且为黑

通过分析，

uncle不存在的单旋 和 uncle存在且为黑的单旋 可以写在一起，

uncle不存在的双旋 和 uncle存在且为黑的双旋 可以写在一起，

不论uncle存在或者不存在，都不影响此步的单旋或者双旋。

当p为g的右孩子时，操作都相反。

详细步骤见其中while (parent && parent->_col == RED)这一步。

 2、插入代码 bool Insert(const pair<K, V>& kv) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); _root->_col = BLACK; return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } cur = new Node(kv); cur->_col = RED; if (parent->_kv.first < kv.first) { parent->_right = cur; } else { parent->_left = cur; } cur->_parent = parent; while (parent && parent->_col == RED) { Node* grandfather = parent->_parent; //p为g左孩子 if (parent == grandfather->_left) { Node* uncle = grandfather->_right; // 情况1：u存在且为红 if (uncle && uncle->_col == RED) { // 变色 parent->_col = uncle->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; // 继续向上处理 cur = grandfather; parent = cur->_parent; } else // u不存在 或 存在且为黑 { //情况2.1 ， 3.1 if (cur == parent->_left) { // g // p // c RotateR(grandfather); parent->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } else//情况2.2 , 3.2 { // g // p // c RotateL(parent); RotateR(grandfather); cur->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } break; } } //p为g右孩子 else // parent == grandfather->_right { Node* uncle = grandfather->_left; // u存在且为红 if (uncle && uncle->_col == RED) { // 变色 parent->_col = uncle->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; // 继续向上处理 cur = grandfather; parent = cur->_parent; } else { if (cur == parent->_right) { // g // p // c RotateL(grandfather); grandfather->_col = RED; parent->_col = BLACK; } else { // g // p // c RotateR(parent); RotateL(grandfather); cur->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } break; } } } _root->_col = BLACK; return true; }

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七、红黑树总结及代码

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O(logN)，红黑树不追求绝对平衡，只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数， 所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

using namespace std; enum Colour { RED, BLACK }; template<class K, class V> struct RBTreeNode { RBTreeNode<K, V>* _left; RBTreeNode<K, V>* _right; RBTreeNode<K, V>* _parent; pair<K, V> _kv; Colour _col; RBTreeNode(const pair<K, V>& kv) :_left(nullptr) , _right(nullptr) , _parent(nullptr) , _kv(kv) , _col(RED) {} }; template<class K, class V> struct RBTree { typedef RBTreeNode<K, V> Node; public: bool Insert(const pair<K, V>& kv) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); _root->_col = BLACK; return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } cur = new Node(kv); cur->_col = RED; if (parent->_kv.first < kv.first) { parent->_right = cur; } else { parent->_left = cur; } cur->_parent = parent; while (parent && parent->_col == RED) { Node* grandfather = parent->_parent; //p为g左孩子 if (parent == grandfather->_left) { Node* uncle = grandfather->_right; // 情况1：u存在且为红 if (uncle && uncle->_col == RED) { // 变色 parent->_col = uncle->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; // 继续向上处理 cur = grandfather; parent = cur->_parent; } else // u不存在 或 存在且为黑 { //情况2.1 ， 3.1 if (cur == parent->_left) { // g // p // c RotateR(grandfather); parent->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } else//情况2.2 , 3.2 { // g // p // c RotateL(parent); RotateR(grandfather); cur->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } break; } } //p为g右孩子 else // parent == grandfather->_right { Node* uncle = grandfather->_left; // u存在且为红 if (uncle && uncle->_col == RED) { // 变色 parent->_col = uncle->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; // 继续向上处理 cur = grandfather; parent = cur->_parent; } else { if (cur == parent->_right) { // g // p // c RotateL(grandfather); grandfather->_col = RED; parent->_col = BLACK; } else { // g // p // c RotateR(parent); RotateL(grandfather); cur->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } break; } } } _root->_col = BLACK; return true; } void RotateL(Node* parent) { ++_rotateCount; Node* cur = parent->_right; Node* curleft = cur->_left; parent->_right = curleft; if (curleft) { curleft->_parent = parent; } cur->_left = parent; Node* ppnode = parent->_parent; parent->_parent = cur; if (parent == _root) { _root = cur; cur->_parent = nullptr; } else { if (ppnode->_left == parent) { ppnode->_left = cur; } else { ppnode->_right = cur; } cur->_parent = ppnode; } } void RotateR(Node* parent) { ++_rotateCount; Node* cur = parent->_left; Node* curright = cur->_right; parent->_left = curright; if (curright) curright->_parent = parent; Node* ppnode = parent->_parent; cur->_right = parent; parent->_parent = cur; if (ppnode == nullptr) { _root = cur; cur->_parent = nullptr; } else { if (ppnode->_left == parent) { ppnode->_left = cur; } else { ppnode->_right = cur; } cur->_parent = ppnode; } } bool CheckColour(Node* root, int blacknum, int benchmark) { if (root == nullptr) { if (blacknum != benchmark) return false; return true; } if (root->_col == BLACK) { ++blacknum; } if (root->_col == RED && root->_parent && root->_parent->_col == RED) { cout << root->_kv.first << "出现连续红色节点" << endl; return false; } return CheckColour(root->_left, blacknum, benchmark) && CheckColour(root->_right, blacknum, benchmark); } bool IsBalance() { return IsBalance(_root); } bool IsBalance(Node* root) { if (root == nullptr) return true; if (root->_col != BLACK) { return false; } // 基准值 int benchmark = 0; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_col == BLACK) ++benchmark; cur = cur->_left; } return CheckColour(root, 0, benchmark); } int Height() { return Height(_root); } int Height(Node* root) { if (root == nullptr) return 0; int leftHeight = Height(root->_left); int rightHeight = Height(root->_right); return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1; } private: Node* _root = nullptr; public: int _rotateCount = 0; };