4.【线性代数】——矩阵的LU分解

四 矩阵的LU分解 1. AB的逆矩阵2. 转置矩阵3. A=LU3.1 2x2矩阵3.2 3x3矩阵3.3 nxn的矩阵分解的次数？

1. AB的逆矩阵

{ ( A B ) ( B − 1 A − 1 ) = I ( B − 1 A − 1 ) ( A B ) = I ⇒ ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 \begin{cases} (AB)(B^{-1}A^{-1}) = I\\ (B^{-1}A^{-1}) (AB)=I \end{cases} \Rightarrow (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} {(AB)(B−1A−1)=I(B−1A−1)(AB)=I​⇒(AB)−1=B−1A−1

2. 转置矩阵

A A − 1 = I ⇒ 两边同时转置 ( A A − 1 ) T = I ⇒ ( A B ) T = B T A T ( A − 1 ) T A T = I \begin{aligned} AA^{-1}=I & \newline \xRightarrow{\text{两边同时转置}} (AA^{-1})^{T}=I &\newline \xRightarrow {(AB)^T = B^TA^T} (A^{-1})^TA^T=I \end{aligned} AA−1=I两边同时转置 ​(AA−1)T=I(AB)T=BTAT ​(A−1)TAT=I​​ 转置矩阵的逆 = 逆矩阵的转置

3. A=LU 3.1 2x2矩阵

A矩阵进行消元，可以得到EA=U [ 1 0 − 4 1 ] ⏟ E [ 2 1 8 7 ] ⏟ A = [ 2 1 0 3 ] ⏟ U \underbrace{\begin{bmatrix} 1&0\\ -4&1 \end{bmatrix}}_{E} \underbrace{\begin{bmatrix} 2&1\\ 8 &7 \end{bmatrix}}_{\text{A}}= \underbrace{\begin{bmatrix} 2&1\\ 0&3 \end{bmatrix}}_{U} E [1−4​01​]​​A [28​17​]​​=U [20​13​]​​ 两边同时乘以 E − 1 E^{-1} E−1，得到A=LU。其中L为下三角矩阵(lower),U为上三角矩阵(upper)。 [ 2 1 8 7 ] ⏟ A = [ 1 0 4 1 ] ⏟ L [ 2 1 0 3 ] ⏟ U \underbrace{\begin{bmatrix} 2&1\\ 8 &7 \end{bmatrix}}_{\text{A}}=\underbrace{\begin{bmatrix} 1&0\\ 4&1 \end{bmatrix}}_{L} \underbrace{\begin{bmatrix} 2&1\\ 0&3 \end{bmatrix}}_{U} A [28​17​]​​=L [14​01​]​​U [20​13​]​​

3.2 3x3矩阵

样例来源于 2.【线性代数】——矩阵消元的第三部分 其中 E 21 E_{21} E21​表示 r o w 2 − 3 r o w 1 row_2-3row_1 row2​−3row1​, E 32 E_{32} E32​表示 r o w 3 − 2 r o w 2 row_3-2row_2 row3​−2row2​ [ 1 0 0 0 1 0 0 − 2 1 ] ⏟ E 32 [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] ⏟ E 21 [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] ⏟ A = [ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 ] ⏟ U \underbrace{\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&-2&1\\ \end{bmatrix}}_{E_{32}} \underbrace{\begin{bmatrix} 1&0&0\\ -3&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}}_{E_{21}} \underbrace{\begin{bmatrix} 1&2&1\\ 3&8 &1\\ 0&4&1 \end{bmatrix}}_{\text{A}}= \underbrace{\begin{bmatrix} 1&2&1\\ 0&2&-2\\ 0&0&5 \end{bmatrix}}_{\text{U}} E32​ ​100​01−2​001​ ​​​E21​ ​1−30​010​001​ ​​​A ​130​284​111​ ​​​=U ​100​220​1−25​ ​​​ A = ( E 21 ) − 1 ( E 32 ) − 1 U A=(E_{21})^{-1}(E_{32})^{-1}U A=(E21​)−1(E32​)−1U 逆矩阵的求法，参考 2.【线性代数】——矩阵消元的第五部分 L = [ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] ⏟ ( E 21 ) − 1 [ 1 0 0 0 1 0 0 2 1 ] ⏟ ( E 32 ) − 1 = [ 1 0 0 3 1 0 0 2 1 ] L = \underbrace{\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 3&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}}_{(E_{21})^{-1}} \underbrace{\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&2&1\\ \end{bmatrix}}_{(E_{32})^{-1}} =\begin{bmatrix} 1&0&0\\ \boxed{3}&1&0\\ 0&\boxed{2}&1\\ \end{bmatrix} L=(E21​)−1 ​130​010​001​ ​​​(E32​)−1 ​100​012​001​ ​​​= ​13​0​012​​001​ ​ 为什么用L矩阵？

因为在不存在行交换的额情况下，消元乘数可直接写入L 3.3 nxn的矩阵分解的次数？

[ a b c d ] ⇒ [ a b c − a ∗ c a d − b ∗ c a ] , c − a ∗ c a 是一次操作。 \begin{bmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} a&b\\ c-a*{\frac c a}&d-b*{\frac c a}\\ \end{bmatrix}, \boxed{c-a*{\frac c a}}是一次操作。 [ac​bd​]⇒[ac−a∗ac​​bd−b∗ac​​],c−a∗ac​​是一次操作。 那么100x100的矩阵，获得第一个主元的估算操作数为 10 0 2 100^2 1002；获得第二个主元的估算操作数为 9 9 2 99^2 992；获得第三个主元的估算操作数是 9 8 2 98^2 982… 求和为 1 2 + 2 2 + . . . + n 2 ≈ 1 3 n 3 1^2+2^2+...+n^2\approx{\frac 1 3}n^3 12+22+...+n2≈31​n3