证明：曲线的可导点不能同时为极值点和拐点

设函数 f ( x ) f(x) f(x)在某点 x 0 x_0 x0​处可导,并且满足：

x 0 x_0 x0​是极值点,即 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f′(x0​)=0； x 0 x_0 x0​是拐点,即曲率发生变化,或者等价地, f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)在 x 0 x_0 x0​处变号。 1. 极值点的性质

由于 x 0 x_0 x0​是极值点,必要条件是 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f′(x0​)=0。此外,在极值点附近,二阶导数 f ′ ′ ( x 0 ) f''(x_0) f′′(x0​)需要满足：

若 f ′ ′ ( x 0 ) > 0 f''(x_0)>0 f′′(x0​)>0,则 x 0 x_0 x0​处为局部极小值点(函数在此点呈“凹”形)。若 f ′ ′ ( x 0 ) < 0 f''(x_0)<0 f′′(x0​)<0,则 x 0 x_0 x0​处为局部极大值点(函数在此点呈“凸”形)。 2. 拐点的性质

拐点的定义是曲率发生变化,即 f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)在 x 0 x_0 x0​处变号。这意味着： 在 x 0 x_0 x0​左侧, f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)和右侧的符号相反。

3. 产生矛盾

在极值点 x 0 x_0 x0​, f ′ ′ ( x 0 ) f''(x_0) f′′(x0​)不等于零,否则无法判定极值的凹凸性； 但如果 f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)变号,则必须存在某个点 x 0 x_0 x0​使得 f ′ ′ ( x 0 ) = 0 f''(x_0)=0 f′′(x0​)=0,否则变号无法发生； 这与极值点的二阶导数非零(保证极值的充分性)矛盾。

因此,可导函数的极值点不可能是拐点。