5.【线性代数】——转置，置换和向量空间

五 转置，置换和向量空间 1. 置换矩阵2. 转置矩阵3. 对称矩阵4. 向量空间4.1 向量空间4.2 子空间

1. 置换矩阵

定义： 用于行互换的矩阵P。 之前进行A=LU分解时，可能存在该行主元为0，要进行行互换，即PA=LU 性质： P − 1 = P T P^{-1} = P^{T} P−1=PT， P T P = I P^{T}P=I PTP=I 例子： [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] . . . \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} ... ​100​010​001​ ​ ​010​100​001​ ​...

2. 转置矩阵

[ 1 3 2 3 4 1 ] T = [ 1 2 4 3 3 1 ] {\begin{bmatrix} 1&3\\ 2&3\\ 4&1 \end{bmatrix}}^{T} = \begin{bmatrix} 1&2&4\\ 3&3&1 \end{bmatrix} ​124​331​ ​T=[13​23​41​] ( A T ) i j = A j i (A^T)_{ij} = A_{ji} (AT)ij​=Aji​

3. 对称矩阵

定义： A i j = A j i A_{ij} = A_{ji} Aij​=Aji​ 性质： 对称矩阵的转置不变性 A T = A A^T = A AT=A 推论： R T R R^TR RTR都是对称矩阵 ( R T R ) T = R T ( R T ) T = R T R (R^TR)^T = R^T(R^T)^T = R^TR (RTR)T=RT(RT)T=RTR

4. 向量空间 4.1 向量空间

记 R 2 R^2 R2为所有二维空间实数向量，组成的向量空间。 R n R^n Rn为所有n维空间实数向量，组成的向量空间。 性质：

所有数乘，加法都在子空间中包含零向量 4.2 子空间

定义：空间中的一部分，且满足性质1和性质2。 例子： R 2 R^2 R2的子空间包含

R^2 二维平面通过(0,0)点的直线零向量

其他：存在子空间P和L, P ∪ L P\cup L P∪L不是子空间， P ∩ L P \cap L P∩L是子空间